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Un vero e proprio invariante si ha invece nell' espressione AIiI 2 : infatti, 



moltiplicando membro a membro le (8) e notando che U(f ) V(£) = ^ , 

 si trova 



(9) AìIM'^^.AIì^. 

 Intanto dalle (8) si deduce il teorema: 



Se una equazione differenziale del tipo (1) ha gl'invarianti parziali 

 diversi da zero,, anche tutte le trasformate che si possono ottenere con 

 cambiamento di variabili hanno gli stessi invarianti diversi da zero; se 

 invece ha uno o due degli invarianti parziali uguali a zero, anche tutte 

 le trasformate hanno uno o due invarianti parziali uguali a zero. 



Notiamo che qui s'intende parlare di trasformate che conservano la 

 forma generale (1). 



2. Vediamo ora quale utilità presenta la considerazione di questi inva- 

 rianti. 



Indichiamo con n(z) il primo membro dell' equazione (1), ove si sup- 

 pone F = 0 , onde giungere a risultati più notevoli. È facile vedere che l' equa- 

 zione proposta si può scrivere nelle due maniere seguenti: 



(10) n(z) = A . V(U(*) ) + DU(s) 



(10') n(z) = A . U(V(*) ) + DV(<r) 



Orbene, cominciamo a supporre che uno degli invarianti parziali sia nullo, 

 ad es. li = 0 ; 1' equazione diventa 



À.V(U(*))-|-DU(*) = 0. 



Di qui risulta che, se a è una soluzione di TJ(z) = 0 , una funzione arbi- 

 traria di « è soluzione della proposta ; quindi si può dire : Un' equazione del 

 tipo (1) (F = 0) che ha uno degli invarianti parziali nullo, ammette per 

 soluzione una funzione arbitraria dì una soluzione di TJ(z) = 0 o V(z) == 0. 

 La sua completa integrazione poi si riduce all' integrazione successiva delle 

 due equazioni del 1° ordine 



AV(s') -f D/ = 0 , U(*) = /. 



Ma una maniera migliore per eseguirne V integrazione si vedrà nel numero 

 seguente. 



Supponiamo adesso che ambedue gli invarianti parziali siano nulli, cioè 

 l l = l 2 = 0; allora l'equazione proposta si riduce alle due forme seguenti: 



AV(XJ(2)) + DU(s)==0 



au(V(«)) + m(z) = o . 



-1^ = 0 



ìy 



-1,^ = 0. 



~òy 



Rendiconti. 1896, Vol. V, 2° Sem. 



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