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Di qui risulta, che se a e fi sono rispettivamente soluzioni dell' equa- 

 zioni U(s) = 0 e Y(z) = 0, (p(a) e ip(fì), ove </> e xp sono due funzioni arbi- 

 trarie, sono soluzioni dell' equazione proposta, e per conseguenza 



è il suo integrale generale. Onde si conclude: Se una equazione del tipo 

 (1)(F— 0) ha ambedue gl J invarianti parziali nulli, essa ammette l' inte- 

 grale generale z = g)(a) -)- ip(jì), essendo a e fi rispettivamente soluzioni di 

 TJ(z) = 0 e Y(z) = 0 ; quindi la sua integrazione è ridotta a quella di equa- 

 zione del 1° ordine. 



3. Per veder bene quando e come l' integrazione della (1) sia riducibile 

 all' integrazione di equazioni del primo ordine, si può anche ragionare nella 

 maniera seguente. Operiamo sulla (1), supposto sempre F = 0 , un cambia- 

 mento di variabili definito dalle relazioni 



? = , i? = »;(a?,^) ; 



si ottiene la nuova equazione (2) (Fi = 0), ove i coefficienti hanno le espres- 

 sioni (3). Ma essendo 



D ; = Z7(£) ed Ej = 11(1) , 



noi possiamo, per le cose già dette, porre questi coefficienti sotto la forma 

 seguente : 



D 1 =A.V(U(?))-[-DU(i-)-I 1 ^ 



B 1 =A .U(V(i ? )) + DV(r / )_I 8 ^ . 



Orbene prendiamo £ e r é in guisa che sia 



U(£) = 0 , V(,;) = 0 , + 



allora 



A^O, 2B 1 = AY(i)U(/,) , d = 0 

 e 1' equazione trasformata diventa 

 Di qui risulta: 



I. Se 1' equazione proposta ha uno de' suoi invarianti parziali nullo, 

 essa si riduce, col cambiamento di variabili adoperato, ad una delle forme 



AY( f )U(,)^-I,||=0, 

 che sono immediatamente riducibili alle quadrature. 



