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II. Se 1' equazione proposta ha gì' invarianti parziali ambedue nulli, 

 essa si riduce, col cambiamento di variabili adoperato, alla forma semplice 



ed ammette quindi l' integrale generale <j>(£) -j- ip(rj), come abbiam visto nel 

 numero precedente. 



III. Le condizioni I x = 0 od I 2 = 0 e li = L = 0 sono rispettiva- 

 mente necessarie e sufficienti affinchè 1' equazione proposta sia riducibile alle 

 forme (11) e (12). 



4. Poniamo nell' equazione data (1) z = kz' ; essa diventa 



A^+2B— + C i 4 + l)'-4-.E , - + F/ = 0 1 

 Dx 2 1 ~ìx ~òy 1 Di/ ' ~bx ~ìy 1 



ove A, B e C sono gli stessi de' precedenti, mentre 



D ' = 2A ]^ + 2B iMA + D! 

 B , = 2C liogA + 2B lMA + B . 



~èy 1 lix 



Calcolando ora per questa nuova equazione gì' invarianti parziali, che 

 diremo 1/ , I 2 ' , si trova facilmente 



I\ = 2(A^ - B) + 2(BX - C) + I, , 



~òx ~òy 



Se k è tale che 1/ ed V risultino nulli, l'equazione trasformata ha gl'in- 

 varianti parziali nulli ed il coefficiente di z diverso da zero, quindi col 

 cambiamento di variabili adoperato nel numero precedente si potrà ridurre 

 alla forma 



(16) ^+* = Ò - 



Di qui risulta: Un'equazione del tipo (1) ad invarianti parziali di- 

 versi da zero è riducibile alla forma (13) mediante una sostituzione seguita 

 da un cambiamento di variabili nel solo caso che V equazioni V = 0 ed 

 I 2 ' == 0 abbiano una soluzione k comune. 



Aggiungiamo per ultimo 1' osservazione seguente. È sempre possibile 

 mediante una sostituzione z = kz', rendere Y equazione proposta ad inva- 

 rianti parziali uguali. Basta infatti prendere per k una soluzione dell'equa- 

 zione 1/ — I 2 ' = 0. 



