﻿Matematica. — Sull'area delle superficie curve. Nota di Gian 

 Antonio Maggi, presentata dal Socio Dini. 



Sono ben note le obbiezioni mosse da Schwarz all' antica definizione di 

 area d' una superficie curva ( J ), in seguito alle quali Hermite enunciò quella 

 eh' è ora, dai migliori trattati, generalmente adottata (-). Con questa è ab- 

 bandonata ogni considerazione di superficie poliedrica iscritta nella superficie; 

 mentre ragioni d' armonia colla definizione della lunghezza d' un arco di linea, 

 come anche di quella dell' area d' una figura piana, e del volume di un solido, 

 possono lasciar desiderare che vi si ritorni : salvo 1' aggiunta di quelle con- 

 dizioni restrittive, concernenti l' iscrizione, di cui Schwarz rileva la neces- 

 sità. Tanto più se si potrà far a meno d' invocare ogni elemento estraneo 

 alla superficie : qual' è il piano di proiezione, che introduce la nuova defini- 

 zione, e bisogna poi dimostrare come, mutandolo, 1' area resta sempre la stessa. 



Una definizione che risponde a tale concetto è questa : « Area d' una 

 superficie curva, dotata in ogni punto di normale, variabile, da punto a punto, 

 con continuità, è il limite dell' area d' una superficie poliedrica iscritta, collo 

 svanire del raggio d'un cerchio capace di contenere le singole faccie, sotto 

 la condizione che, insieme con questo raggio, svanisca uniformemente 1' an- 

 golo formato dalla perpendicolare al piano d' ogni faccia colla normale alla 

 superficie in un punto qualsivoglia del segmento sotteso ». 



Questa definizione richiede però la dimostrazione preliminare che in una 

 superficie, quale l' abbiamo supposta, è sempre possibile iscrivere una succes- 

 sione infinita di superficie poliedriche, corrispondenti a due successioni corre- 

 lative di angoli e di cerchi, ambedue infinitamente decrescenti : in tal modo 

 che, purché le faccie di una superficie poliedrica capiscano in un cerchio, 

 l' angolo formato dalla perpendicolare al piano delle singole faccie colla nor- 

 male alla superficie in in punto qualsivoglia del segmento sotteso riesca 

 minore dell'angolo relativo. 



Dimostrato questo, si vede subito che l' area delle superficie poliedriche 

 iscritte in discorso, collo svanire del raggio di un cerchio capace di com- 



t 1 ) Hermite, Cours à la Faculté des Sciences, 2 a ediz., Paris, 1883. — Schwarz, Ge- 

 sammelte Abhandlungen, Berlin, 1891. {Sur une définition erronée de Vaire d'une sur- 

 face courbe, pag. 309 e 369). 



( 2 ) Hermite, Cours à la Faculté des Sciences, 3 a ediz., Paris, 1887. — E. Picard, 

 Traité d' Analyse, Paris, 1891. — F. d'Arcais, Corso di calcolo infinitesimale, Padova, 

 1891-94. — E. Pascal, Lezioni di calcolo infinitesimale. Milano, 1895. — Citerò anche, per 

 chi abbia famigliare il Calcolo Geometrico, la definizione del prof. G. Peano, — Lezioni 

 di Analisi infinitesimale, Torino, 1893 — che, partendo da un principio diverso, ritrova 

 nei concetti di tale calcolo l'analogia con quella di lunghezza d'un arco. 



