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prendere le singole faccie, ha un limite, puramente dipendente dalla super- 

 ficie curva considerata. Il quale, per ogni pezzo abbastanza ristretto perchè 

 ogni punto di un certo piano, compreso dalla proiezione del contorno sul 

 piano medesimo, o appartenente ad essa, sia proiezione d'un sol punto, e 

 l' angolo formato dalla normale in un punto qualunque colla perpendicolare 

 al piano non raggiunga un retto, risulta 



dove X rappresenta la grandezza di queir angolo, pel punto generico, a quella 

 dell' area della proiezione, e l' integrale s' intende esteso alla proiezione me- 

 desima ('-). 



Tale dimostrazione emerge dalla ricerca seguente, che conduce a stabi- 

 lire un' assai semplice coudizione generale, sufficiente perchè, collo svanire del 

 raggio d' un cerchio capace di contenere le singole faccie d' una superficie 

 poliedrica iscritta in una superficie curva, svanisca uniformemente 1' angolo 

 formato dalla perpendicolare al loro piano colla normale alla superficie in 

 un punto qualunque del segmento sotteso ; eh' è appunto quanto dire perchè 

 una successione di superficie poliedriche iscritte riesca della specie suddetta. 

 Per modo che, soddisfatta quella condizione, il limite dell'area della super- 

 ficie iscritta esisterà, e sarà ciò che, per definizione, chiamiamo area della 

 superficie curva ; ed altrimenti potrà darsi che 1' area delle superficie iscritte 

 non abbia limite determinato, o 1' abbia infinito, conformemente agli esempii 

 addotti da Schio ars. 



Sia la superficie analiticamente rappresentata dalle equazioni 



(1) x = x{u ì v), y — y{u,v), g = s(u,v), 



e i vertici della faccia generica d'una superficie poliedrica iscritta (che 

 potremo sempre supporre a faccie triangolari) abbiano per coordinate (inten- 

 diamo coordinate cartesiane ortogonali) 



rispettivamente corrispondenti ai valori dei parametri 



(*) Basta osservare che si ha identicamente : 



e, inteso che J<s indichi la grandezza dell'area della proiezione della faccia generica, A' 

 e A rappresentino gli angoli che, colla perpendicolare al piano di proiezione, formano la 

 perpendicolare al piano della faccia e la normale alla superficie in un punto qualunque 

 del segmento sotteso, e le sommatorie abbraccino tutte le faccie, la seconda del secondo 

 membro, collo svanire del raggio di un cerchio capace di contenere le singole faccie, o le 

 loro proiezioni, per la supposta successione di superficie, tende a zero, mentre la prima tende 

 al suddetto integrale, e quella del primo membro all'area, come fu definita. 



