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3. Théorème de Môbius. Posons 



^-r.cosW + rc), 

 * 3 = r s cos(-n 3 *), 

 ^ = r 4 cos (- 



y, - r 2 sin (n t * + n), 



y 3 — r 3 sin (— n 3 <), 



y 4 - r 4 sm(-n 4 *-ir); 



(^n U\\ V?), (^ 3 > ^ 3 )» (#4, y*) seront les coordonnées de points 

 pris sur les quatre cercles de rayon r v r 2 , r 3 , r 4 . Quand t, et, par 

 suite, 9 el u varient de 0 à 2tt, le point M décrit l'ellipse tout entière 

 dans un sens que nous appellerons le sens direct. Dans la même 

 hypothèse, le point (x v yj décrit n x fois le cercle de rayon r v dans 

 le sens direct, à partir du point (^,0); le point (a? 3 , ij 3 ) décrira w 3 fois 

 le cercle de rayon r 3 , dans le sens contraire, ou sens rétrograde, à 

 partir du point (r 3 , 0). De même, le point (x v y 2 ) décrit n 2 fois le 

 cercle de rayon r 2 , dans le sens direct, mais à partir du point 

 (— r 2 , 0) et le point (a? 4 ,y 4 ) décrit « 4 fois le cercle de rayon r 4 , dans 

 le sens rétrograde, à partir du point (— r 4 ,0). 



Comme Môbius l'a remarqué, le mouvement du point (H, n) sera 

 la résultante des quatre mouvements circulaires dont il vient d'être 

 question : ce point se mouvra, en sens rétrograde, sur un cercle C 4 

 de rayon r 4 , le centre de G 4 se mouvant dans le sens direct 

 sur le cercle G 3 de rayon r 3 ; le centre de G 3 se meut lui-même 

 dans le sens rétrograde sur le cercle C 2 de rayon r 2 , et, enfin, le 

 centre de C 2 se meut dans le sens direct sur un cercle C x de rayon r v 

 Ces mouvements commencent à l'une ou l'autre extrémité des 

 diamètres des cercles parallèles aux abscisses, comme il a été dit 

 plus haut, et sont uniformes si t varie d'une manière uniforme. 



Ce que nous venons de dire s'applique, mutatis mutandis, au 

 point M (r cos 9, r sin 0). Il en résulte le théorème de Môbius : Le 

 mouvement eUiptique képlérien équivaut à une infinité de mouve- 

 ments uniformes circulaires. 



4. Historique. Môbius énonce, sans le démontrer, ce théorème 

 sous une forme plus générale, en l'appliquant à un mouvement 



Soient 



