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Gauss a aussi indiqué sans peine les défauts de trois autres 

 démonstrations du postulatum dues à W. Bolyai (G, 160-162), 

 Schwab et Metternich (G, 170-174); mais il n'est pas difficile de 

 réfuter ces démonstrations, même si l'on ne connaît pas les théo- 

 rèmes S et D. 



4. Connaissances de Gauss en <j< * nue de 1816 



à 1832. Gauss n'a pas trouvé en une fois tous les principes de la 

 géométrie non euclidienne (G, 200, 213, 221). Il est probable que 

 c'est vers 1816qu'il est arrivé à la trigonométrie non euclidienne, T. 

 En effet, 1° Wachter (1792-1817) (*), qui l'a vu en 1816, et qui lui 

 envoie en décembre une mauvaise théorie des parallèles, lui parle 

 du théorème H qu'il a trouvé par induction, et, à ce propos, il fait 

 mention de la géométrie non euclidienne et de la trigonométrie 

 transcendante de Gauss (175-176). 



2o Gerling (1788-1864) apprend à Gauss en 1819, que Schweikart 

 a trouvé à Kharkof, entre 1812 et 1816, un système de géométrie 

 non euclidienne, dont il lui envoie un résumé contenant S, D par- 

 tiellement, et K. Gauss s'en réjouit et lui dit qu'il connaît cette 

 géométrie; il a été plus loin que Schweikart; il sait résoudre, à une 

 constante près, tous les problèmes de cette géométrie. Gela impli- 

 que évidemment la connaissance de T (G, 178 182). 



3° Un passage de la réfutation de la théorie des parallèles de 

 Mùller (1822) présuppose la connaissance de T (G, 183-185; der- 

 nières lignes de la page 184, ligne 1 de la page 185) (**). 



4° En 1824, Gauss écrit à Taurinus sur la géométrie non eucli- 

 dienne et lui dit de nouveau qu'il sait résoudre tous les problèmes 

 y relatifs (G, 187-189). 



5<> On peut aussi citer des lettres de Gauss à Bessel et à Schu- 

 macher (G. 200-201, 210-219), mais elles pourraient être récusées. 

 En effet, Taurinus a publié en 1826, ses Geometriae prima elementa, 

 et il les a très probablement envoyés à Gauss. Or on y trouve 

 S, D, T et partiellement M, bien que Taurinus ne croie pas à la 

 géométrie non euclidienne. 



