euclidienne plane sur les horisphères; interprétation due à 

 Beltrami, de la géométrie lobatchefskienne sur la pseudosphère 

 euclidienne; interprétation due à Barbarin, de toute géométrie 

 plane, sur des surfaces de chacune des trois géométries). 



On sait d'ailleurs, par la théorie des ensembles, que toutes les 

 propriétés de l'espace à trois dimensions, et même toutes les 

 propriétés (réellement ou symboliquement) quantitatives de l'Uni- 

 vers, peuvent se représenter géométriquement sur une droite aussi 

 petite que l'on veut. Cependant personne ne songera à dire que la 

 géométrie de la droite est une géométrie de l'espace ou une théo- 

 rie de l'Univers. 



Nous concluons de là que la géométrie cayleyenne est une 

 interprétation géométrique presque parfaite de la métagéométrie, 

 ce n'est pas la métagéométrie elle-même. 



II. Lie a étudié dans sa Théorie der Transformationsgruppen 

 (t. III, ch. V), un problème d'analyse, soulevé par Riemann et 

 Helmholtz, à propos des principes de la géométrie et il semble 

 l'avoir résolu complètement. Mais ni Riemann, ni Helmholtz, ni 

 Lie ne donnent une signification géométrique aux coordonnées des 

 êtres analytiques qu'ils appellent points (*). Par suite, leurs 

 recherches ne semblent avoir de géométrique que la termino- 

 logie (**) et la théorie de l'espace analytique de Riemann, de 

 Helmholtz et de Lie ne pourra être appelée une métagéométrie que 

 lorsque l'on y aura introduit une interprétation géométrique des 

 quantités qui y entrent. C'est d'ailleurs, au fond, l'opinion de Lie 

 lui-même : ■ Wir kônnen dièse Vorbemerkungen nicht schliessen, 

 dit-il, ohne ausdrùchlich zu betonen, dass die folgenden Unter- 

 suchungen nicht den Anspruch erheben, philosophische Specula- 

 tionen ùber die Grundlagen der Géométrie zu sein, sie wollen nicht 

 mehr sein, als ein sorgfàltige gruppentheoretische Behandlung 

 des gruppentheoretische Problems das wir als das Riemann- 

 Helmholtzsche Problem bezeichnet haben , (ouvrage cité, p. 398). 



(*) C'est l'inverse pour M. De Tilly quoi qu'en dise Lie (ouvrage cité, p. 525). 

 ( ) Cette observation ne s'applique pas à la remarque vraiment géométrique 



implique non qu'il est infini, mais qu'il est illimité. (Werke, 1" édition, Ueber 

 die Hypothesen, welche der Géométrie zu Grunde liegen, III, § 2, dernier alinéa, 



