- 63 - 



M. G.-J. de la Vallée Poussin communique la note suivante : Sur 



la réduction des équations différentielles linéaires à une inconnue. 



Dans le tome II du Cours d'analyse de M. Humbert (Gauthier- 

 Villars, 1904), on trouve les deux théorèmes suivants (n os 343 et 

 346): 



I. Si l'on connaît p solutions d'une équation linéaire sans second 

 membre, d'ordre n, 



ft»?» ••• Vv (p <n) 



linéairement indépendantes entre e//e.<, ou /,rut ramener l'infé'/ration 

 de la proposée à celle d'une équation linéaire d'ordre n-p et à p 



IL Sous les mêmes condition*, ï'nilétjraiion de V équation avec 

 second membre se ramène à eell,- d'une équation linéaire à second 

 membre, d'ordre n-p et à p quadratures. 



Je me propose de montrer que ces énoncés sont artificiels et 

 comment il convient de les modifier. En même temps, j'exposerai 

 une méthode de réduction qui me paraît plus élégante que la 

 méthode classique. 



J'admets comme établi le théorème de Lagrange : L'intégration 

 d'une équation d'ordre n avec second membre se ramène a celle 

 de l'équation sans second membre et à n quadratures, par la 

 méthode de variation des constantes. 



Ceci posé, considérons l'équation sans second membre 



(1) F(y) — jr -h X^"-' + ... + X*y - 0 



où F est un polynôme symbolique, les exposants désignant des 

 dérivées. 



Supposons qu'on en connaisse p intégrales indépendantes 

 Vi, y%, - Vv Posons, en abrégé, 



&»y* ...yV) = I y. y* y* I 

 v'\ y'% ••• y'v 



yryr 1 ... yr 1 



