-6S- 



applique brutalement le théorème de Lagrange (nous en recti- 

 fierons l'application tout à l'heure), cette nouvelle intégration 

 revient à p quadratures. Nous avons retrouvé de la sorte (et avec 

 le même sens) le premier théorème de M. Humbert. 



Procédons maintenant d'une autre manière. 



On sait (Laurent, Traité d'Analyse, t. V, p. 127) que l'équation 

 différentielle des multiplicateurs |u de l'équation (1) est la suivante: 



(4) ■ u» - (uXO- 1 + (uX 2 )- 2 - ... ± uX„ - 0. 



Si l'on connaît p intégrales distinctes y v y 2 , ... y p de l'équa- 

 tion (1) ce sont autant de multiplicateurs (*) de l'équation (4). En 

 multipliant donc cette équation successivement par y Y , par y 2 , ... 

 par y p , et en effectuant chaque fois une intégration immédiate 

 (ce qui n'exige aucune quadrature), on trouve p intégrales pre- 

 mières, distinctes de l'équation (4), de la forme 



(a, b, ... étant des fonctions de x; C n C 2 , ... des constantes arbi- 



Entre ces p relations, on peut éliminer a' 1 " 1 , u." -2 , . . . n"""** 1 , ce 

 qui fournit, pour déterminer u, une équation d'ordre n-p avec 

 second membre de la forme 



(5) a"-* + M.u^ 1 + . . . + M H - p u - CtH, + C 2 « 2 + . . . + C p u p 



(«i,.«t,... étant fonctions de x). 



L'intégration de (5) donne l'intégrale de (1), car si l'on connaît 

 n multiplicateurs distincts de (1), la valeur de y s'en déduit sans 

 quadrature [en procédant, par exemple, comme nous venons de le 

 faire pour abaisser l'équation (4)]. Donc, au lieu du théorème I de 

 M. Humbert, on peut énoncer le suivant : 



permet de trouver un multiplicateur de celte même équation par des quadra- 

 tures. C'est là une erreur. Il nous suffit de la signaler. 



XXIX 5 



+ + ... 



a 2 ^ + + ••• 



+ h\x = C, 



c/" 1 + hjF* + ... + h» = C p 



