second membre d'ordre n, l'i utnjrot ion se ramène à celle d'une 



Si l'on applique encore une fois brutalement le théorème de 

 Lagrange, on peut donc dire que cette intégration se ramène à celle 

 d'une équation sans second memhre d'ordre n-p et à n-p quadra- 

 tures (nombre qui peut être moindre que celui indiqué par 

 M. Humbert). 



La conclusion à tirer de là, c'est que le nombre de quadratures 

 indiqué par M. Humbert ne correspond pas à la nature du 

 problème, mais à un mode particulier de procéder. D'autre part, 

 la distinction des équations réduites en équation sans second 

 membre dans le premier théorème et équation avec second 

 membre dans le second théorème de M. Humbert est artificielle 

 également. 



Où l'arbitraire s'introduit-il donc ? C'est évidemment dans le fait 

 de considérer comme une seule quadrature l'intégration d'une 

 expression linéaire et homogène par rapport à des constantes 

 indéterminées. A ce compte, mitant de quadratures qu'on veut se 

 ramènent à une seule, car une somme d'intégrales multipliées par 

 des indéterminées se ramène à une seule intégrale, dont la 

 connaissance équivaut à celle de chaque terme. 



Reprenons donc les calculs précédents en évaluant cette fois 

 rigoureusement le nombre de quadratures à effectuer. 



Considérons d'abord la première méthode de réduction. L'inté- 

 gration de l'équation (3) fournit pour z une valeur de la forme 



(les a étant constants). 



Portons cette valeur dans (2) ; y sera déterminé par p quadra- 

 tures comme nous l'avons vu tout à l'heure ; mais, comme z entre 

 en facteur sous chaque signe j*, chacune de ces quadratures se 

 décompose en n-p quadratures distinctes, de sorte qu'il y a en 

 tout p{n-p) quadratures à effectuer. 



La seconde méthode de réduction donne le même résultat. Pour 

 intégrer l'équation (5), après qu'on a calculé l'intégrale de 



