puis par les milieux de GR, GP, CQ, GS élevons des perpendicu- 

 laires. Elles détermitlétlt sur AM, les points X, T, V, Y, centres de 



3 e cas : Les cercles donnés se touchent tous les trois en un 

 même point. Le problème admet évidemment alors une infinité 

 de solutions. 



Chap.V. — Démonstration <!<■ srpt Intimes /o'erssaires il la BOlfdion 

 <In prohlème <T Apollonius. — " La solution générale du problème, 

 dit Romain, dépend de la détermination de la ligne qui est le lieu 

 des centres des troisièmes cercles, touchant les cercles donnés pris 

 deux à deux de toutes les manières possibles. Nous traiterons 

 cette question en sept lemmes. , 



Lemme I. — Si les deux cercles donnés sont égaux, le lieu des 

 centres des troisièmes cercles qui les touchent tous les deux inté- 

 rieurement ou tous les deux extérieurement est la perpendiculaire 

 élevée au milieu de la ligne des centres des premiers cercles. 



Lemme IL — Si les cercles donnés sont inégaux, le lieu des 

 centres des cercles qui les touchent intérieurement est uheDràilchè 

 d 'hyperbole. 



Lemme 111. — Si les cercles donnés sont inégaux, le lieu des 

 centres des cercles qui les touchent extérieurement est une 

 branche d'hyperbole. 



Lemme I V. — Que les cercles donnés soient égaux ou inégaux, 

 le lieu des centres des cercles qui touchent l'un d'eux intérieure- 

 ment et l'autre extérieurement est une hyperbole. 



Démonstration '1rs tpnrfre pr< mit rs I mimes. — Romain remarque 

 que le premier lemme est intuitif. Quant aux trois derniers, il 

 explique longuement, en s'aidant de trois petites figures, que dans 

 le cas des lemmes II et III, la différence des distances d'un point 

 du lieu aux centres des deux cercles donnés est égale à la diffé- 

 rence de leurs rayons; et que dans le cas du lemme IV, cette 



problème à la 51 e proposition du livre III des Coniques d'Apol- 



Lemme V. — Déterminer sur la ligne des centres l'axe trans- 

 verse de ces hyperboles et leurs deux " Appendices „, c'est-à-dire 

 les deux segments déterminés de part et d'autre de l'axe trans- 

 verse par les foyers et les sommets réels. 



