Longue démonstration divisée en quatre parties. Je résume la 

 première en langage moderne, mais en suivant pas à pas l'ordre 

 des raisonnements de l'auteur. 



Prolongeons la ligne des centres AB et soient D, E, F, G, les 

 points d'intersection de AB avec les circonférences données (voir 

 la %.). 



Premier cas (correspondant au lemme II). Soit H le milieu de DG. 

 Prenons BI = AH. 



Je dis que HI est égal à la différence des rayons des cercles, et 

 que par conséquent H et I sont les sommets réels et HI l'axe 

 transverse de l'hyperbole. 



Car, par construction, 



GH = DH 



donc GH — BI = DH - AH 



ce qui peut s'écrire 



GB + IH = DA 

 d'où IH — DA - GB. 



Deuxième cas (correspondant au lemme III). Soit I le milieu 

 de EF. Prenons AH = BI; HI est de nouveau égal à la différence 

 des rayons des cercles ; par conséquent H et I sont les sommets 

 réels et HI l'axe transverse de l'hyperbole. 



Troisième cas (correspondant à la première partie du lemme IV ; 

 contact intérieur avec le cercle A, extérieur avec le cercle B). Soit 

 K le milieu de DF. Prenons BL = AK. Je dis que KL est égal à la 

 somme des rayons des cercles, et que par conséquent K et F sont 

 les sommets réels et KF l'axe transverse de l'hyperbole. 



Quatrième cas (correspondant à la seconde partie du lemme IV; 

 contact extérieur avec le cercle A, intérieur avec le cercle B). Soit 

 L le milieu de EG. Prenons AK = BL. Je dis que KL est de 

 nouveau égal à la somme des rayons des cercles et que par 

 conséquent K et L sont les sommets réels et KF l'axe transverse 

 de l'hyperbole. 



A. Romain démontre tous ces cas au long, sans faire grâce au 

 lecteur du moindre raisonnement intermédiaire. C'était conforme 



