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Le point m, projection du point M sur le plan OXY, a pour coor- 

 données x, y et 0 et est aussi la projection sur ce plan du point M', 

 symétrique de M par rapport à OXY, qui a sur la sphère les coor- 

 données a, p, tt — Yi et dans l'espace x, y, — z. 



Séparons par la pensée les deux faces du plan OXY; mar- 

 quons sur l'une de ces faces la projection de tous les points de la 

 sphère situés du même côté que A, sur l'autre celle de tous 

 les points situés du même côté que A'. Alors tous les points de la 

 sphère seront représentés sans ambiguïté par les points du plan 

 double OXY. 



Réciproquement, tous les points du plan, et même du plan 

 double, seront représentés sur la sphère, pourvu que l'on attribue 

 au besoin à et, p, y des valeurs imaginaires. 



Toute proposition de géométrie euclidienne plane pourra donc 

 se traduire en une proposition de géométrie euclidienne sphérique, 

 ou, si l'on veut, de géométrie plane riemannienne. Ces considéra- 

 tions s'étendent à l'espace à trois dimensions; on peut aussi, dans 

 ces spéculations, mettre la géométrie lobatchefskienne à la place de 

 la riemannienne, puisque cela revient à introduire le facteur ima- 

 ginaire i dans les formules. 



La géométrie euclidienne est donc susceptible d'une interpréta- 

 tion non euclidienne et inversement; cette interprétation différente 

 de celle qui constitue la géométrie cayleyenne, semble plus 

 élémentaire et plus directe. Elle permet de deviner sans peine la 

 formule qui donne le volume d'un solide en géométrie non eucli- 

 dienne, au moyen d'une intégrale triple. 



M. Ch. de la Vallée Poussin expose Y intégration de l'équation de 

 Bessel sous forme finie de la manière suivante : 

 L'équation de Bessel se ramène à l'une des deux équations 



m % + 



où y désigne une fonction de la variable indépendante t. 



Il s'agit de montrer que cette équation s'intègre sous forme finie si 



