A cet effet, observons que t étant traité comme un paramètre, on 

 a, par une intégration par parties, 



| e«< (u* ± 1)^ udu = ^ ( W 2 * 1)" - ± j e"< («' dr 1)" du. 



Nous allons tirer de cette relation la solution de l'équation de 

 Bessel en transformant les deux intégrales indéfinies qui y figurent 

 par la formule symbolique 



I e"' E (t*) du = E (D,) y + C, 



dans laquelle E (?/) est un polynôme. Cette formule s'applique aux 

 deux intégrales susdites sip est entier positif, car u (u 2 ± et 

 (u- ± 1)^ sont des polynômes. Désignant par D les dérivées par 

 rapport a /, il vient ainsi, à une constante près par rapport à w, 



D (D' ± i r < Ç - g («' t 1)'' - ^ (D« ± 1)" ç . 



Mais cette constante est nulle, car, si l'on suppose / positif, les 

 deux membres de cette relation s'annulent par u = — oo . Donc 

 cette relation est une identité. 



Multiplions l'identité précédente par 2p : t et posons, dans les 

 deux membres, 



(2) y = (D 2 ± l)*- 1 j ; 



elle prend la forme 



(D*±l)y + ^D.y « ± l)>. 



Le premier membre est précisément celui de l'équation (l). 

 Donc, comme ]) est > 0, il suffît de choisir u de manière à annuler 

 w 2 ± 1 pour obtenir par la formule (2) une solution de l'équa- 

 tion (1). Examinons ces solutions pour chacune des déterminations 

 du signe ambigu. 



