- loi - 



La droite a rencontre A en A„ et en deux autres points D„, D,', 

 qui sont déterminés par l'équation 



(6) vz$* — uxfr + ivyt = 0, 



(7) ï = £- z (ux±\/u*x>-lvwyz). 



L'équation u % x* — bvwyz = 0, si a-, //, z sont des coordonnées 

 courantes, représente une conique U„ qui est tangente aux droites 

 b y c, p respectivement en G, B et au conjugué harmonique de A„ 

 par rapport à B & et G c ; si u, i\ w sont les coordonnées courantes, 

 elle représente une conique V rt qui passe par M et touche b en G, 



Soient p n p 2 les deux valeurs (7) du rapport P : ï, et appelons 

 M n M 2 , M 3 les points de rencontre de a, b, c avec les droites AM, 

 BM, CM. On a 



Lorsque M est à l'extérieur de U„, les valeurs de p t , p, sont 

 réelles et inégales. Les relations (8), où pour plus de facilité on 

 considère a, p, y et x, y, z comme des coordonnées barycentriques, 

 donnent 



DjG D1G _ C C A M 2 C 

 D (I B + DIB ~~ ÔE * M 2 A ' 



D„C D; ; C _ A a G M,G 

 DJÏ ' DlB ~~ O ' MjB ' 



(10) 



Les égalités (10) et (9) conduisent aux propositions suivantes : 



Lorsque M parcourt la droite AM M D„ et D' a sont des éléments 

 nmjugués d, /'inroh//in,i d rte nui née par les couples BC, A„M,. En 

 faisant mouvoir M sur la droite BM 2 , on obtient une autre inrolu- 

 tion dont B est un élément double et où C est conjugué avec le 

 point (a, M 2 C„). 



Le cas de M situé sur U„ donne Pi = p 2 ; D a est alors un élément 

 double de l'involution (BG, A„M,). 



