Voici une autre manière de déterminer les points D,„ D;,. Si D est 

 un point quelconque de a, les points ab', ac' se confondent avec D 

 et les points ba\ ca 1 tombent en G, B ; la conique \X)p] se compose 

 alors do a et d'une droite l joignant les points cV et bc'. Il s'agit 

 donc de trouver sur a un point D tel que cette droite l passe par le 

 point donné M. Or, si l'on mène par M une droite variable qui 

 rencontre b en N et *c en N', le point d'intersection des droites 

 B 6 N', C C N décrit une conique passant par A et touchant les 

 droites MB,,, MC, en B, ; , C c . Cette courbe coupe a aux points 

 cherchés D„, D,'. 



5. En écrivant l'équation (5) ainsi : 



(5') ap T . r-ux + Tua (Zua . Tayz — Tux Tfox) = 0, 



on voit que les points de rencontre du trilatère abc avec la cubique 

 A sont les points A,„ B,„ G, dep et six points D,„ D;„ D,„ D;, D 0) Dl, 

 situés sur la conique 



Cette courbe mérite de fixer notre attention. D'abord, son 

 équation ne change pas quand on intervertit les coordonnées 

 fixes (.r, y, z) avec les coordonnées variables (a, p, y). On peut la 

 mettre sous la forme 



U {yztf _ x tfr) + v {zx p _ y « Ta) + w {xjfft _ _ 0 



Les trois parenthèses égalées à zéro représentent trois coniques 

 W,„ W», W c qui passent par M et touchent deux côtés du triangle 

 ABC aux extrémités du troisième. Ces trois courbes et W ont en 

 commun, outre le point M, deux autres points imaginaires que 

 nous désignons par M , , M; et qui ont pour coordonnées (, -, y6, *B ■•'), 

 (x, yQ*, Z Q), où e est une racine cubique imaginaire de l'unité. La 

 droite M, M; a pour équation I " = 0, c'est la polaire trilinéaire 

 m de M; la vérification se fait aisément au moyen de l'égalité 

 1 + e -j-e- = 0. Comme dans la définition des coniques W W, 

 W,. chacun des poiuts M . M pe ut se substituer a M. wm< pouvons 

 d,re que le triangle MM.M; est autopolaire par rapport au'triangle 

 ABC. Les points M„ Mi appartiennent à la conique I - = 0 qui 



