- 191- 



Nous allons le montrer, à propos de la question énoncée plus 

 haut. 



" Que doit-on penser de cette question, dit M. Poincaré : La 

 géométrie euclidienne est-elle vraie ? 



, Elle n'a aucun sens. Autant demander si le système métrique 

 est vrai et les anciennes mesures fausses; si les coordonnées 

 cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses. Une 

 géométrie ne peut pas être plus vraie qu'une autre; elle peut seu- 

 lement être plus commode. 



„ Or, la géométrie euclidienne est et restera la plus commode : 



„ 1° Parce qu'elle est la plus simple; et ce n'est pas seulement 

 par suite de nos habitudes d'esprit ou de je ne sais quelle intuition 

 directe que nous aurions de l'espace euclidien; elle est lapins 

 simple en soi, de même qu'un polynôme du premier degré est plus 

 simple qu'un polynôme du second degré; 



„ 2° Parce qu'elle s'accorde assez bien avec les propriétés des 

 solides naturels, ces corps dont se rapprochent nos membres et 

 notre œil et avec lesquels nous faisons nos instruments de mesure 

 {La Science et l'Hypothèse, pp. 66 et 67). „ 



11 est évident que la seconde raison ne vaut rien; les propriétés 

 du monde physique tout entier s'accordent aussi assez bien avec 

 les géométries non euclidiennes suffisamment voisines de l'eucli- 

 dienne. Ensuite, relativement au 1°, on peut remarquer que la 

 géométrie euclidienne n'est pas plus simple que les géométries 

 non euclidiennes dans toutes ses parties. Ainsi, le principe de 

 dualité ou de corrélation est évident en géométrie riemannienne 

 (et même en géométrie lobalchefskienne analytique), tandis qu'il 

 ne l'est pas en géométrie euclidienne. 



Dans les deux géométries non euclidiennes, la théorie de l'équi- 

 valence des figures planes est simple; elle est compliquée en géo- 

 métrie euclidienne, quand on veut l'établir avec rigueur. 



Mais d'où vient cette assertion de M. Poincaré : " elle est plus 

 simple en soi, de même qu'un polynôme du premier degré est 

 plus simple qu'un polynôme du second degré? „ D'une manière 

 spéciale, croyons-nous, d'envisager la géométrie non euclidienne, 

 qui est très bien exposée dans la traduction allemande de M. Lin- 

 demann (Note 19, pp. 257 et suiv.). 



Considérons, dans un espace euclidien, les coordonnées rectan- 



