gulaires x, //, s d'un point, et les coordonnées analogues dans un 

 espace lobatchefskien H, rj, Z, c'est-à-dire les sinus des rapports 

 des distances de ces points aux trois plans coordonnés à la 

 constante lobatchefskienne, 2&. Posons 



+ y 2 + * 2 - * 2 



ou, en prenant le radical positivement, 



»-f, y ~ }, z = i v'CArc h- i>* — £« — n « — i . 



On trouvera alors, comme le dit M. Poincaré à la page 57 de 

 son livre, qu'à tout point (5, n, Z) de l'espace lobatchefskien cor- 

 respond un point de l'espace euclidien situé au-dessus du plan 

 z = 0, au plan ou à la droite du premier espace, une sphère 

 ou un cercle coupant orthogonalement le plan z = 0, à la sphère, 

 au cercle et à l'angle lobatchefskien, une sphère, un cercle, un 

 angle euclidiens; la distance lobatchefskienne sera exprimée 

 euclidienncment par le logarithme d'un certain rapport anharmo- 

 nique,et ainsi de suite. 



La transformation des propriétés de l'espace lobatchefskien en 

 propriétés d'un demi-espace euclidien, leur donne une apparence 

 compliquée; à certaines expressions lobatchefskiennes du premier 

 degré, correspondent des expressions euclidiennes du second. 



Au point de vue mathématique abstrait, on peut regarder 

 comme équivalente la considération de deux figures transformées 

 l'une de l'autre. De ce point de vue, on pourra dire évidemment 

 que l'espace lobatchefskien, c'est-à-dire sa transformée euclidienne, 

 est moins simple que l'espace euclidien, et en continuant la méta- 

 phore, que la géométrie lobatchefskienne est moins simple que la 

 géométrie euclidienne, mais ce ne sera qu'une métaphore. On 

 pourra dire aussi, toujours d'une manière métaphorique, que les 

 propriétés de l'espace euclidien et celles du demi-espace euclidien, 

 transformé de l'espace lobatchefskien sont aussi vraies les unes 



