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Enfin, M. Mansion communique une courte note sur la question 

 suivante : La géométrie non archimédienne est-elle une géométrie ? 



Le principe d'Archimède (antérieur à Archimède; voir Eticlidç, 

 V, déf. 4) est le suivant : ■ Si l'on se donne deux grandeurs homo- 

 gènes, on peut toujours trouver un nombre entier n assez grand 

 pour que n fois la première grandeur surpasse la seconde .„ 



La géométrie non archimédienne est une théorie où l'on 

 étudie des entités mathématiques auxquelles le principe d'Archi- 

 mède ne s'applique pas. Donnons-en une idée. Considérons les 

 fonctions de t formées par addition, multiplication, soustraction, 

 division et par l'opération \J \ -f uu 2 , où w désigne une fonction 

 formée au moyen de ces cinq opérations. Toute fonction Q (t), 

 ainsi formée, pour t suffisamment grand, devient et reste à la fin 

 positive ou négative. 



De deux fonctions Q (<), appelons la plus grande celle qui est 

 telle que, si l'on en retranche l'autre, pour t suffisamment grand, 

 la différence soit positive. 



Ainsi t — n, considéré comme fonction de t seul, à la fin est positif 

 pour t croissant ; donc t est dit plus grand que », ou n plus petit 

 que t. 



Les fonctions de t dont il s'agit étant prises pour coordonnées 

 ponctuelles d'un point (r, //, z), ou d'un plan (u : v : w : /•), la 

 relation 



ux + vy + ivz + r - 0 



sera dite l'équation d'un plan non archimédien; la droite non 

 archimédienne est l'intersection de deux plans. On parvient, dans 

 la géométrie algébrique correspondante, à définir des segments, 

 et ces segments sont toujours plus grands que n fois l'unité de 

 longueur, dans le sens indiqué plus haut. Le principe d'Archimède 

 n'est donc pas applicable à ces segments. 



Mais ces segments ne correspondent évidemment à aucune 

 réalité géométrique. Car le principe d'Archimède est applicable 

 aux grandeurs géométriques, si on laisse aux mots " plus grand „ 

 leur sens habituel : en effet, par définition, les grandeurs sont ce 

 qui tombe sous l'application de ce principe et supposer que les 

 distances ne sont pas des grandeurs, c'est supprimer la géométrie. 



