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Il est clair que les deux termes en -p devenant chacun infini 

 \h 



pour h = 0 ont une somme finie quelque petit que soit h, puisque la 

 somme contient un facteur \Jh . 



M. de la Vallée Poussin a attiré mon attention sur ce fait (que 

 j'avais déjà fait remarquer) que par des changements de variables 

 l'on obtient la dérivée de V sous forme immédiatement finie. 



Mais il arrive que, dans mes recherches, quand j'ai obtenu , 

 je dois intégrer le résultat par rapport à une autre variable. Et la 

 quadrature n'est possible que lorsque est obtenu comme limite 

 de la somme (4). 



La voie la plus logique n'est pas toujours la meilleure pour des 

 calculs effectifs qui doivent être complètement achevés. 



D'ailleurs, dans une note (*) sur les équations du type hyper- 

 bolique, M. Hadamard souligne ce fait très remarquable que l'inté- 

 grale se présente toujours comme une somme finie de deux 

 termes infinis. 



Je l'avais vu, dans ma Thèse en poursuivant les belles recherches 

 de M. Volterra. 



Il n'était donc pas sans intérêt d'indiquer les formules (3) et (4) 

 à propos de la dérivation des intégrales dont l'élément est 

 infini (**). 



Depuis cette communication, M. Hadamard a publié un beau 

 mémoire, Recherches sur les solutions fondamentales (Annales de 

 l'Ecole normale, mars 1905), où il étudie des équations plus géné- 

 rales que celles de MM. Volterra, Goulon et que celles de ma Thèse, 

 mais avec la restriction (que je ne fais pas) que toutes les fonctions 

 données sont analytiques. 



L'on verra que M. Hadamard parle de la partie finie d'une inté- 

 grale infinie, ce qui a, pour lui comme pour moi, un sens très 

 précis, quoique l'expression soit assurément très incorrecte. 



