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M. Ch.-J. de la Vallée Poussin fait une communication Sur la 

 définition de Voire des surfaces courbes dont voici les idées essen- 

 tielles. 



Considérons le système de formules 



x = q> 1 («, t>), y = q> 2 («, v), z = <p 3 (u, v). 



Supposons qu'elles définissent x, y, z en fonctions continues 

 de «, v et qu'elles établissent une correspondance uniforme entre 

 les points d'une aire A bien déterminée dans le plan (w, v) et ceux 

 d'un ensemble de points S dans l'espace (x, y, z). 



Nous disons que l'ensemble S est une portion de surface. L'aire 

 A étant limitée par un contour G fermé, la ligne L qui correspond 

 à G forme le bord de la surface S. 



Il s'agit de donner une définition générale de l'aire de cette 

 surface S. 



On sait que, même dans le plan, toute ligne continue ne peut 

 former la frontière d'une aire bien déterminée. Il faut pour cela 

 que cette ligne soit quarrable ou ait une aire nulle. Il faut évidem- 

 ment des conditions correspondantes dans l'espace. 



Nous dirons qu'une ligne de l'espace est quarrable ou a une aire 

 nulle, si on peut l'enfermer à l'intérieur d'une surface polyédrique 

 fermée dont l'aire puisse être rendue inférieure à tout nombre 

 positif donné. 



Ceci posé, pour que la portion de surface S ait une aire déter- 

 minée, il faut que la ligne L qui la borde soit une ligne quarrable. 

 Supposons cette condition vérifiée. 



Pour définir l'aire de la surface, remarquons qu'à tout nombre 

 positif e on peut faire correspondre une infinité de polyèdres tels 

 que tout point du polyèdre soit à une distance < e de la surface 

 et, réciproquement tout point de la surface à une distance < e 

 du polyèdre. Ces polyèdres ont des aires bien déterminées et la 

 limite inférieure de toutes ces aires est une quantité bien déter- 

 minée P e qui dépend de e. 



Faisons tendre e vers zéro. La limite P e sera constante ou crois- 

 sante et tendra, par conséquent, vers une limite P, qui sera par 

 définition l'aire de la surface S, ou vers l'infini, auquel cas la sur- 

 face ne sera pas quarrable. 



