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On sait que, si ab dépasse une certaine limite, cette fonction n'a 

 de dérivée pour aucune valeur de x. 



Je vais montrer que, si ab est>\, cette fonction a une infinité de 

 maxima et de minima dans tout intervalle, et pour cela, que les 

 valeurs de x comjirise* dans la formule 



(1) — 



où pet b sont des entiers positifs quelconques, donnent des innx'naa si 

 p est pair et des minima sip est impair. 



Donnons-nous, en effet, une valeur x de la forme (1) et consi- 

 dérons la somme 



<p (•*•) = 21 an cos hn ™' 



Pour la valeur considérée de x, on a 



*(*)-(- i) p |V, 



<p(* + À) = (- 1)' a» cos ô»tt*, 



d'où l'on tire 



<p (x + h) — <p (x) = (- 2^ °* (! - cos 



Donc, « — 1 étant > q, on aura 



<p(* + *)-cp(*) ^d-cosft-^M 

 (- ' 



Faisons tendre A vers zéro d'une manière quelconque. On peut 

 toujours poser 



(2) * = 



où e désigne + 1 ou — 1 suivant le signe de /t, p un nombre 

 compris entre 1 et b, et n un entier qui augmente à l'infini. 



