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Il était donc bien plus certain de ne pas se tromper dans 

 ses calculs en employant la division sexagésimale à laquelle il 

 était habitué qu'en faisant usage de la graduation centésimale 

 chinoise. 



Mercredi, 22 avril 1903. M. Mansion communique à la section 

 deux notes dont voici le résumé sommaire : 



I. Sur la réduction des intégrales elliptiques à la forme normale 

 de Weierstrass. On réduit aisément l'intégrale d'une fraction 

 rationnelle de x et de R, quand R 2 = kx i + 4B# 3 ~f- 6O 2 

 + 4D# -{- E, à des intégrales élémentaires et à l'intégrale d'une 

 fonction rationnelle de y et de r, r 2 étant égale à 4y 3 — g 2 y — g 3 , 

 9% et g 3 étant les invariants de R 2 . On emploie pour cela, soit la 

 transformation d'Hermite, soit une transformation due à Weier- 

 strass, dans laquelle on pose AR a = (Ax 2 + 2B« + G — 2 y) 2 . Si 

 r 2 = 0 a une racine réelle — 2 m, et deux racines imaginaires 

 m -f- ni, m — ni, l'intégrale transformée ne se prête nullement aux 

 calculs numériques. Dans ce cas, on la ramène à une autre où 

 entre un radical p tel que p 2 = 0 soit une équation cubique dont 

 les racines sont réelles, par les transformations suivantes : 1° On 

 pose y + 2 m = t 2 , ce qui amène dans l'intégrale un radical por- 

 tant sur l'expression P = t* — 6 m t 2 + 9 m 2 -f n 2 ; 2° on applique 

 à l'intégrale en t, la transformation de Weierstrass, en posant 

 P = (t 2 — m — %z) 2 . On trouve que l'intégrale en z contient un 

 radical p, tel que p 2 = 0 a ses trois racines réelles, savoir m, et 



§ ni ± § y/9 w 2 + n 2 . — Ce procédé est beaucoup plus simple 

 et plus facile à retenir que ceux qui sont exposés dans les manuels 

 de la théorie des fonctions elliptiques. 



II. Sur la simplification des notations elliptiques de Weierstrass. 

 Les trois fonctions fondamentales de la théorie des fonctions ellip- 

 tiques de Weierstrass, pu, au et Dlog au, dépendent au fond de 

 trois variables, savoir u et les deux périodes tu et w' ou, si l'on 

 aime mieux de u, du multiplicateur X = j?w — pw', et du module 



= [P (tu + u/) — ^uj'j : X. 



Ces fonctions pu, au, Dlog au, sont dans une relation très 

 étroite avec les anciennes fonctions elliptiques sn, en, dn, 0, 2, TT, 

 m ais pour un autre argument v — u\ \. 



La présence de ce facteur y X complique, sans aucune utilité, un 



