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Les déterminants qui ne présentent pas cette difficulté en pré- 

 sentent souvent d'autres qui leur sont propres. Les deux cas où 

 c = 35 et c = 499 nous en fourniront quelques exemples. 



I. * 2 + 47 f = 2* 



2. Le déterminant — 47 présente 10 classes de formes quadra- 

 tiques, savoir 5 dans l'ordre proprement primitif et 5 dans l'ordre 

 improprement primitif. Les 5 classes du premier ordre sont : 



H = (7, 3, 8), H 2 = (3, - 1, 16), H 3 = (3, 1, 16), 

 H* = (7, — 3, 8), H 5 = (1,0, 47). 

 Les classes du second ordre s'en déduisent en les composant avec 

 la classe G = (2, 1, 24). On trouve ainsi (4, ± 1, 12), (6, ± 1, 8), 

 (2, 1, 24). 



Nous verrons plus loin que la considération de l'ordre impro- 

 prement primitif est inutile dans la recherche des solutions de 

 l'équation (1) en nombres premiers entre eux; c'est pourquoi nous 

 nous bornons à l'ordre proprement primitif. 



Théorème 1. — Une forme [>r<>i>r(>»ient primitive du détermi- 

 nant — 47 ne peut représenter proprement aucun nombre pair sans 

 qu'il soit multiple de 8. 



Démonstration. — Puisque les 5 classes (7, ± 3, 8), (3, ± 1, 16), 

 (1,0,47) renferment tout l'ordre proprement primitif, un nombre 

 2*'A représenté proprement par une forme de cet ordre le sera 

 aussi par l'une des trois formes : 



(1,0,47), (3,1,16), (7,3,8), 



2 l A = ai» 2 + 2 bmn + en-, a = 1,3,7 et b = 0, 1, 3. 

 2'Aa = (am + bnf + 47 n 2 . 

 Si n est pair, am -\- bn est impair, puisque l'on suppose m, » 

 premiers entre eux. Le second membre de l'équation étant impair, 

 on a i = 0. Si donc A étant impair, * est différent de 0, le nombre n 



