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sera impair ainsi que am -f- bn; le second membre sera multiple 

 de 8 et par conséquent 2 J A sera aussi multiple de 8. G. Q. F. D. 



Corollaire. — Les formes proprement primitives du détermi- 

 nant — 47 ne peuvent représenter proprement que des nombres 

 impairs et des multiples de 8. 



3. Considérons d'abord celles des solutions de l'équation pro- 

 posée dans lesquelles le cube est impair. Posons z = A. Toutes 

 les représentations de A 3 par les formes du déterminant — 47 

 correspondent aux diverses valeurs de \/— 47 (mod. A 3 ), c'est- 

 à-dire aux diverses solutions de la congruence x 2 = — 47 

 (mod. A 3 ). On regarde comme équivalente s les représentations 

 qui correspondent à une même valeur de V~ & (mod. A 3 ). Or, 

 les diverses valeurs de \J — 47 (mod. A 3 ) so nt congrues suivant 

 le module A aux diverses valeurs de \/— 47 (mod. A). Il résulte 

 de là que le nombre des représentations non équivalentes de A 3 

 par les formes du déterminant — 47 est le même que celui des 

 représentations de A, et qu'elles leur correspondent une à une par 

 les formules de triplications. Soit en effet A = am 2 + 2bmn -f en 2 ; 

 soit de plus (P, Q, R) (X, Y) 2 la résultante de la triplication de 

 la forme ax 2 -f Hbxy + cy 2 . X et Y seront deux formes cubiques 

 homogènes de x, y qui réduiront à une identité la formule 



PX 2 + 2 QXY -f RY 2 = {ax 2 + 2 bxy -f- cy 2 f. 



Si l'on désigne par M, N ce que deviennent X, Y, quand on y 

 fait x = m , y = n, 



PM 2 + 2QMN + RN 2 = (am 2 +$bm» + en 2 ) 3 = A 3 . 



Cette représentation de A 3 par la forme (P, Q, R) appartient à 

 la valeur 



_PM + QN dev/ - 1?(mod A3) , 



