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Si l'on veut que la représentation (M, N) de A 3 appartienne à la 

 classe principale, il faut que la triplication de la classe (a, b, c) à 

 laquelle appartient la représentation (m, n) de A ait pour résul- 

 tante la classe principale. Par conséquent, toutes les valeurs 

 impaires de z propres à vérifier l'équation proposée sont repré- 

 sentées par celles des classes du déterminant — 47 dont la tripli- 

 cation donne la classe principale. 



Or, le nombre 5 des classes de l'ordre proprement primitif étant 

 premier avec 3, la seule classe dont la triplication ait pour résul- 

 tante la classe principale est cette classe principale elle-même. 

 Toutes les valeurs impaires de z utiles pour notre problème sont 

 exprimées par la formule 



où l'on désigne par f, g deux nombres premiers entre eux, l'un 

 pair et l'autre impair. On aura 



^ + 47y 2 = (/- 2 + 47^) 3 , 

 * -f Sj'^Ûy = (/■ + 5 r\/=47) 3 - 

 En égala nt entre elles les parties rationnelles et les coefficients 

 de \/— 47 dans la dernière formule, on trouve 



x = f(P~ 141 g% y - g (3 f* - 47 g'). 

 Théorème IL — Toutes celles des solutions de l'équation 



(1) z* + 47y 2 = 2 3 



en nombres particuliers mire > u.v, dans lesquelles le cube estit»p* tr f 

 se déduisent des formules 



(2) *-/* + 47/, x = f(f*-U\g*) y^gÇP-Mf) 

 en égalant f, g, de toutes les manières possibles, à deux nombres 

 premiers entre eux, l'un pair et l'autre impair. 



Si l'on demande quels sont les cubes impairs, qui deviennent 

 des carrés lorsqu'on leur retranche 47 unités, on trouve la réponse 



