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4. Quand l'équation proposée doit être résolue en nombres 

 premiers entre eux, de telle manière que le cube soit pair, les for- 

 mules qui expriment les solutions sont différentes, suivant le 

 degré de la plus haute puissance de 2 qui divise la racine du cube. 

 Posons en effet z = 2'w en désignant par / un exposant positif, et 

 par u un nombre impair. L'équation à résoudre devient 



(E) x 2 -f 47 # a = T\u\ 



Les nombres impairs u et w 3 ne peuvent être représentés que par 

 des formes proprement primitives. Le nombre 2 3 '' peut être repré- 

 senté par des formes de chacun des deux ordres primitifs. Mais 

 comme la composition d'une forme improprement primitive avec 

 une forme proprement primitive ne peut donner pour résultante 

 qu'une forme improprement primitive, on ne doit utiliser que les 

 représentations de 2 3£ par les formes proprement primitives. On 

 composera ces représentations avec celles de u a , et l'on aura celles 

 du produit 2 3i w 3 . 



Cette composition des représentations s'effectue par la compo- 

 sition des formes réduites qui représentent les classes auxquelles 

 appartiennent ces représentations. Toutes celles des représenta- 

 tions d'un nombre N par les formes proprement primitives du 

 d étermi nant — 47 qui appartiennent à une même valeur de 

 \/ — 47 (mod. N), sont dites équivalentes, parce que ces repré- 

 sentations sont données par de s formes proprement équivalentes. 

 Or, soit v la valeur de \J— 47 (mod. 2 3i u a ) à laquelle appartient 

 une représentation du produit 2 3 ' m 3 , soit 



v = a (mod. 2 3i ), v = b (mod. w 3 ), 



et 



am 2 + 2 bmn + en 2 = 2 3i , a' m! 2 + 2 b'm'ri + c'n' 2 — u s , 

 deux représentations de 2 3 ' et d e u 3 appartenant respectivement 

 aux deux valeurs a, b de \J— 47. On aura 



***** = ~ « (mod. 2"), a ' m ' + bn ' s _ b (mod. u°). 



La composition des deux formes (a, b, c), (a', b\ c') donnera pour 

 résultante une forme de la classe à laquelle appartient celle des 



