- 127 - 7 



représentations de 2 3i m 3 qui correspondent à la valeur v de 

 V— 47 (mod. 2 3< w 3 ). Si l'on veut que cette classe soit la classe 

 principale, il est nécessaire que la classe (a', b', c') soit opposée à 

 la classe («, è, c) ; on pourra par conséquent la représenter par 

 la forme (a, — b, c). La transformation de (a', b\ c') en (a, — b, c) 

 fera connaître la représentation (j>, g) de w 3 par (a, — è, c) en 

 fonction linéaire de la représentation (m', n'). On aura, pour la 

 même valeur de u : t 



(3) af — lbpq + cq 2 = u 3 , 



X 2 + 47 Y 2 = (af — Zbpq-\- cq 2 ) (am 2 + 2 6mn + en 2 ) 



(4) X = amp — b (me/ — pri) — cqn, Y = mq + 



Gomme deux formes opposées représentent les mêmes nombres, 

 nous ne prendrons dans ces formules que la valeur positive de b 

 et les valeurs de m, n qui vérifient la condition 



Les valeurs de a, è, c, m, w sont donc invariables pour une même 

 valeur de i. Les nombres impairs u 3 qui vérifient l'équation 



X 2 + 47 Y 2 = 2 3i m 3 



en nombres premiers entre eux sont tous exprimés par l'équa- 

 tion (3), et les valeurs correspondantes de X, Y, par les for- 

 mules (4). Il nous reste à exprimer les nombres p, q en fonction 

 des nombres f, g qui forment la représentation de m. Pour cela il 

 faut trouver la classe dont la triplication a pour résultante la classe 

 (a, — b, c), et effectuer sa triplication. 



5. Soit d'abord i = 1. Les représentations de 8 par les formes 

 du déterminant — 47 correspondent aux racines de la congruence 



.r 2 + 47 = 0 (mod. 8), 



lesquelles sont au nombre de 4, savoir ± 1, ± 3. Toutes les repré- 

 sentations de 8 par les formes du déterminant — 47 appartiennent 

 conséquemment aux quatre classes représentées par les quatre 

 formes (8, zb 1, 6), (8, ± 3, 7). On doit omettre les deux premières 



