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représentés par deux classes opposées. Or, les représentations 

 de 4 3 par les formes du déterminant — 47 correspondent aux 

 solutions x = ±9, x == ± 23 de la congruence 



X* + 47 = 0 (mod. 4 3 ). 



On doit rejeter les deux solutions x = ± 9 parce qu'elles cor- 

 respondent à deux classes improprement primitives (64, ± 9, 2). 

 Toutes les représentations de 64 utiles pour notre problème 

 appartiennent donc aux deux classes (64, ± 23, 9). Les formes 

 réduites correspondantes sont (8, =fc 3, 7) on a 



64 = 8m 2 + Gmn + 7 n\ 



en prenant m — 3, n = — 2. Pour que le produit 64. u s soit repré- 

 senté par la forme principale, il faut que u s soit représenté par la 

 forme (8, — 3, 7) comme dans le cas précédent. Par conséquent 

 toutes les valeurs impaires de u qui vérifient l'équation 



X 2 -f 47 Y 2 = 64. u 3 



sont exprimées par la formule 



3f 2 + %fg + 16</ 2 - «, 



et toutes les représentations (p, q) de u s par la forme (8, — 3, 7) 

 sont exprimées par les formules 



p = %P + 3fg - 30/>» - 12<? 3 , 

 q = f 3 - Wf*g-Mfg*+ 16 0». 

 Les expressions de X et de Y en fonction de p, q se déduisent 



des formules (4) en y faisant a = 8,6 = 3,c = 7,m = 3,« = — *» 



on trouve 



X = iSp + 5q, Y = 3^ — °Lp. 

 Enfin substituant dans ces formules les expressions de p et de q 

 en/-et. 9 ,ona 



X = 41 f* - epg - 660 /> 2 - 136 y 3 , 

 Y = - P - MPg - \%ff 4 



