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Théorème VI. — Toutes les solutions de l'équation 

 X 2 + 47Y 2 - 64u 3 

 en nombres impairs, premiers entre eux, sont exprimées par les 



X = 41 f 3 - QPg - 660 /<f - 136 g 3 , 

 Y = - f - Mfg - Wfg 2 -f ng\ 

 u = Zf* + Zfg + 16<7 a . 

 En prenant /"= 1, g = 0, on trouve 



41^ _|_ 47 = (12) 3 . 



7. Soit i = 3, » = 8 m. Les valeurs de \/— 47 (mod. 8 3 ) sont 

 ± 55, ± 201. Les deux premières correspondent à des formes 

 improprement primitives ; on doit les exclure. Les deux autres, 

 ± 201, déterminent les deux classes (8 3 , =fc 201, 79). 



Les formes réduites qui représentent ces deux classes sont 

 (3, ± 1, 16). On a 



3.8 2 - 2. 5.8 + 16. 5 2 = 512 = 8 3 . 



Le facteur 8 3 étant représenté par la forme (3,-1, 16), pour 

 que le produit 8 3 m 3 soit représenté par la forme principale, il faut 

 que m 3 soit représenté par la forme (3, 1, 16), et conséquemment 

 sa racine u, par une classe dont la triplication donne la classe 

 (3, 1, 16), savoir par la classe (7, 3, 8), de sorte qu'on aura 



3 F 2 + 2FG + 16 G 2 = {If + Zfg + 8<f) 3 

 F, G désignant deux fonctions homogènes du troisième degré des 

 deux nombres indéterminés f, g. 



On pourrait obtenir les fonctions F, G par une méthode sem- 

 blable à celle que nous avons employée pour effectuer la tripli- 

 cation de la forme (3, 1, 16). Néanmoins nous suivrons une autre 

 méthode fondée sur l'emploi des formules qui servent à la com- 

 position des formes quadratiques primitives d'un même déter- 

 minant, parce que ces formules nous seront utiles dans la suite de 

 ce mémoire. 



