on vérifie identiquement la formule 



X 2 + 47 Y 2 = (3x 2 + «Lxxj + 16.v 2 ) (3s* -2*y + 16y«) 

 Substituons s' = 8, y' = 5, :r = F, y = G nous aurons 

 X = 19 F — 72 G, Y = 5 F + 8 G. 

 X 2 + 47 Y 2 = 512 (3 F 2 + 2 FG + 16 G 2 ). 



Enfin, si l'on substitue les expressions précédentes de F et de G 

 et qu'on ait égard à la formule 



3 F 2 + 2 FG + 16 G 2 = (7 f* + Gfg + 8ff, 



on obtient le théorème suivant : 



Théorème VII. — Toutes les solutions en nombres impairs, premiers 

 entre eux, de l'équation 



(7) X* + 47 Y 2 = 512. k» 



sont exprimées par les formules suivantes : 



X — 27 f 3 — 1194f</ — 1116/0* + 136 g 3 , 

 î - M/* + - 132^ - 72 g\ 



u = If + 6fy + 8f. 



li. Le cas où z = 2% présente une particularité digne de 

 remarque. Comme 8 est représenté proprement par la forme 

 H = (7, 3, 8), on pourrait croire que sa quatrième puissance doit 

 être représentée par la forme H 4 . Il n'en est rien. Toutes les repré- 

 sentations de 8 4 par les formes du déterminant —47 correspondent 

 aux solutions de la congruence 



& _|_ 47 = 0 (mod. 8 4 ), 



lesquelles sont x = ± 457, x — ± 1591. On doit rejeter les deux 

 dernières, parce qu'elles correspondent à des formes impropre- 

 ment primitives. Les deux autres correspondent à deux classes 

 opposées représentées par les deux formes (8*, ± 457, 51). Ces 



