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deux formes sont équivalentes à la forme principale. On trouve 

 effectivement 



17 2 + 47. 9 2 = 4096 = 8*. 



Nous avons vu (n° 2) que les nombres impairs dont les cubes 

 sont représentés par la forme principale (1, 0, 47) sont eux-mêmes 

 représentés par cette forme, et que toutes les solutions en nombres 

 premiers entre eux de l'équation x 2 -{- 47 y 2 = z 3 , dans laquelle 

 z doit être impair, sont exprimées par les formules 



* = + 47^ x = f(f-U\g% y = g(3f* -47/). 



Or, on a identiquement 



(xx' ± 47 yy'f + 47 (xij ^ x'yf = (a* + 47 g') (x« + 47 y"). 



Si l'on substitue dans cette identité les expressions de x, y en 

 fonctions de /", g et que l'on pose x' = 17, y' = 9, on obtient ce 

 théorème. 



Théorème VIII. — Toutes les solutions de V équation 



(8) X 2 + 47 Y 2 = 4096 u 3 



en nombres impairs- et premiers entre eux sont exprimées par les 

 formules 



X = 17 f{f - 141 g s ) ± 47. 9 g (3 f — 47 g 2 ), 

 Y - 17^(3f-47^ 2 ) qp dftr-Uij) 

 u = f + 47 <; 2 . 



12. Nous avons trouvé que les représentations propres de S 4 

 appartiennent à la classe principale, contrairement à l'induction 

 relative à la représentation de ce nombre par la classe H 4 = 

 (7, - 3, 8). Il ne sera pas inutile de démontrer directement 

 l'impossibilité de représenter proprement 8 4 par la classe H 4 . 



Supposons à cet effet que l'on ait en nombres premiers entre 

 eux m, n, l'égalité 



7 m 8 + 6 m» + 8n* = 4096, 



