et conséquemment 



(7 m + 3 nf + 47 n 2 — 7. 4096 = 28672. 



La première équation exige que m soit pair, et conséquemment 

 n impair. 



On aurait donc en nombres impairs l'équation 



se» + 47 y 2 = 28672 = A. 



Gomme A est de la forme 47 l + 2, le nombre 3 doit vérifier la 

 congruence 



x 2 = 2 (mod. 47). 



Par conséquent 



x = =fc 7 (mod. 47). 



D'ailleurs x doit être impair; il est donc renfermé dans les for- 

 mules 94 1 -f 7, 94 Z 4 87. Parmi les nombres compris dans ces 

 formules, les seuls qui soient inférieurs à la limite de x, savoir 

 VA < 170, sont les trois nombres 7, 87, 101. On doit exclure 7, 

 parce que A étant multiple de 7, il faudrait que y le fût égale- 

 ment, ce qui est impossible puisque x et y doivent être premiers 

 entre eux. 



La solution x = 101 est exclue par le module 11 . On a en effet 



101 =2, A = 6 (mod. 11), 



de sorte que l'équation proposée, réduite en congruence, devien- 

 drait 



4 -f- 47 y* = 6, 3 y 2 se 2 (mod. 11), 



ce qui est impossible, 3 étant résidu de 11, tandis que 2 est non- 

 résidu. Il ne reste qu'une seule valeur possible, x = 87. Or, cette 

 solution est inadmissible, car on en déduirait 



y* - 28672 ~ 87 - 87 - 449, 



ce qui est impossible en nombres rationnels, puisque 449 n'est 

 pas un carré. L'équation supposée est donc impossible. G. Q. F. D. 



