13. Bien des choses resteraient à dire pour compléter l'étude 

 de l'équation indéterminée x 2 -f- 47 y 2 = z 3 . Ce qui précède suffit 

 pour notre but, qui était de donner la marche à suivre pour 

 obtenir les formules qui expriment toutes les solutions de l'équa- 

 tion proposée. Nous avons trouvé que le problème se résout bien 

 aisément lorsqu'on se borne à demander les cubes impairs qui 

 peuvent être représentés proprement par la forme principale 

 (1, 0, 47). Mais si l'on cesse d'exiger que le cube soit impair, le 

 problème se complique, parce qu'il faut distinguer la puissance 

 de 2 qui divise la racine du cube. La même difficulté se présente 

 pour toutes les équations renfermées dans la formule 



(9) x 2 + (81 + 7) y* = z* 



lorsque le cube peut être pair ou impair. Quand z est pair, les 

 formules qui expriment les solutions dans lesquelles la plus haute 

 puissance de 2 qui divise ce nombre est la même, dépendent des 

 solutions de la congruence 



X 2 + g l + 7 = 0 (mod. 2 3! ), 



comme nous l'avons vu dans le cas où c = 47. 



Même avec la restriction que le cube soit impair, le problème 

 de trouver les carrés qui deviennent des cubes lorsqu'on leur 

 ajoute 8/ -f- 7, ne reçoit une solution complète que dans les cas où 

 le nombre des classes quadratiques du déterminant — (8Z + 7 ) 

 est premier avec 3, comme cela a lieu dans le cas proposé 

 8J + 7 = 47. Dans ce cas, toutes les solutions de l'équation 

 proposée dans lesquelles z est impair sont exprimées par les 

 formules 



(10) + (8* + 7)/, 



x = f(P-\Ul + M}g% 



V = 9(3P -[8l + 7} 9 % 

 dans lesquelles f et g représentent deux nombres premiers entre 

 eux, l'un pair et l'autre impair. L'un des deux carrés x 2 , y 2 est 

 nécessairement pair. 

 Si l'on demande de trouver les carrés qui deviennent des cubes 



