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impairs par l'addition de SI + 7, on obtient une réponse complète 

 en cherchant les solutions dans lesquelles f se réduit à 1, c'est-a- 

 dire en résolvant l'équation 



g{3r-l$l + 1}f) = ± 1. sl 7 ± x 



On doit prendre g = 1, de sorte que la formule f* = g 



doit donner pour f une valeur rationnelle entière. Le signe du 

 second membre est déterminé par la condition de donner à f* une 

 valeur entière. 



Si cette valeur de f 2 est un carré, le problème proposé admet 

 une solution et une seule, il existe un carré et un seul, qui devient 

 un cube impair par l'addition de SI + 7, la racine de ce carré est 

 exprimée par la formule 



x = / (f 2 -124/ + 21]). 



Si, au contraire, la valeur obtenue pour f 2 n'est pas un carré, le 

 problème est impossible. Prenons par exemple 



Cette valeur étant fractionnaire, l'équation x 2 + 39 jr — ? 

 n'admet pas de solution dans laquelle x étant pair, y se réduirait 

 à l'unité. Comme le nombre des classes quadratiques du détermi- 

 nant — 39 est égal à 4, nombre premier avec 3, nous avons ce 

 théorème : 



Théorème IX. - Si Von ajoute 39 à chacun des carrés pairs 4, 

 16, 36, 64, ... à l'infini, aucune des sommes obtenues n'est égale a un 

 cube. 



Prenons encore 



l = 6, 8/ + 7 = 55. 

 Le nombre des classes quadratiques du déterminant - 55 est 4, 

 comme pour - 39. Par conséquent toutes celles des solutions de 

 l'équation (9) en nombres premiers entre eux, pour l = 6, sont 



