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exprimées par les formules (10). Si l'on demande de former un 

 cube impair en ajoutant 55 à un carré, la réponse s'obtient en 

 résolvant l'équation g (3 f — 55 g 2 ) = db 1. On trouve 



Ce nombre n'étant pas un carré, on a ce théorème : 



Théorème X. — Si Von ajoute 55 à chacun des carrés pairs 4, 16, 

 36, 64, etc., aucune des sommes obtenues n'est égale à un cube. 



On parvient à une conclusion semblable pour chacun des 

 nombres 71, 79, 95, 103, 119; car si l'on désigne par c l'un de ces 

 nombres, la formule f 2 = C ^ 1 ne donne pour f que des valeurs 

 irrationnelles. Donc 



Théorème XI. — II est impossible d'obtenir un cube impair en 

 ajoutant un carré h l'un des nombres 71, 79, 95, 103, 119. 



Toute autre serait la conclusion si l'on demandait de former un 

 cube pair en ajoutant quelque carré au nombre c. Dans ce cas, il 

 faudrait chercher les solutions des congruences x 2 -j- c rt 0 

 (mod. 2 3f ) pour obtenir les représentations de 2 3 '' par les formes 

 proprement primitives du déterminant — c. On obtiendrait pour 

 chaque valeur de i des formules générales pour exprimer toutes 

 celles des solutions de l'équation (9) qui correspondent à l'hypo- 

 thèse z = 2 { m, le nombre u étant impair. 



14. Pour tous les nombres c de la forme 8 J + 7, l'équation pro- 

 posée (1) ne peut être complètement résolue sans que l'on tienne 

 compte des cas où, les deux carrés étant impairs, le cube serait 

 un nombre pair. Dans ces cas, les formules qui expriment les 

 racines x, y des deux carrés sont des fonctions irréductibles du 

 troisième degré, de sorte que l'on ne peut pas obtenir avec certi- 

 tude toutes celles des solutions de l'équation proposée dans 

 lesquelles l'un des carrés reçoit une valeur déterminée. Par 

 exemple, nous avons trouvé (n° 5, th. IV) que toutes les solutions 

 de l'équation 



X 2 -f 47Y 2 = 8u 3 



