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Théorème III. — Dans la suite indéfinie des carres il n'y en a 

 aucun qui devienne un cube quand on lui ajouté 140. 



Peut-on obtenir un cube en ajoutant 25 au produit d'un carré 

 multiplié par 35 ? Pour répondre à cette question, il faut voir si 

 dans l'un des systèmes (2), (3) l'hypothèse x = ± 5 est possible 

 ou non. Dans le système (2) on aurait l'équation 



fiF-XQ&<?) = ±5, 

 dont l'impossibilité est manifeste. Dans le système (3) on a 

 (4f + g) (2f + 130») = ± 5. 



On ne peut faire que l'une des deux hypothèses suivantes : 

 lo 4 f + g - ± 5, îf + fg- 13/ =±1; 

 2" if + g _ db 1, 2f + /y - 13/ = Tfc 5. 



En éliminant g entre les deux équations de chaque système, on 

 obtient clans les deux cas une équation du second degré en f dont 

 les racines ne sont pas entières. Donc 



Théorème IV. — 11 est impossible d'obtenir un cube en ajoutant 25 

 au produit d'un carré multiplié par 35. 



18. On obtient un grand nombre de théorèmes semblables aux 

 précédents, en résolvant le problème suivant : 



Problème. — Trouver ceux des nombres premiers, inférieurs 

 à 1000, qui, étant pris comme râleurs de y, permettent de résoudre 

 l'équation 



x 2 + 35 y 2 = z 3 



Désignons para l'un des nombres demandés. Ce nombre devra 

 vérifier l'une des deux équations 



g(df* - 35/) = ± a, g(6p + 3fg - 4/) = ± a. 



Chacune de ces équations peut se décomposer en deux autres, 



