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20. Si l'on désigne par a l'un quelconque des nombres pre- 

 miers inférieurs à 1000, qui ne figurent pas dans le tableau précé- 

 dent, on peut énoncer ce théorème : 



Théorème VIL — Dans la suite indéfinie des carrés premiers 

 avec a, il ne s'en trouve minai <j><i <lnvirnne un cube par l'addition 

 de 35 a 2 . 



La restriction que le carré soit premier avec a devient inutile, 

 lorsque a est non-diviseur de x 2 -f 35; car si l'on fait x=ah, 

 z = ah dans l'équation 



x* -f 35 a 2 = z 3 



et qu'on divise par a 2 , on a 



A» -j- 35 = ak s , 



ce qui est impossible, puisqu'on suppose a non-diviseur de x 2 -\- 35. 



Les non-diviseurs de x 2 -f 35 sont les nombres premiers ren- 

 fermés dans la formule 701 -f- (19, 23, 31, 37, 41, 43, 53, 57, 59, 61, 

 67, 69). Tous les nombres premiers inférieurs à 1000, renfermés 

 dans cette formule, à l'exception de ceux qui rentrent dans le 

 tableau précédent, savoir 23, 41, 59, 269, 311, 409, 509, 543, 971, 

 donnent lieu au théorème suivant : 



Théorème VIII. — Le nombre premier a remplissant les condi- 

 tions que nous venons d'énoncer, si Von ajoute à 35a 2 les carrés 1, 4, 

 9, 16, 25, 36, ... à l'infini, aucune des sommes obtenues n'est égale 

 à un cube. 



Ceux des nombres premiers inférieurs à 400 auxquels s'applique 

 ce théorème sont : 19, 31, 37, 43, 53, 61, 67, 89, 101, 107, 1 13, 127, 

 131, 137, 139, 163, 181, 193, 197, 199, 229, 233, 241, 251, 263, 271, 

 277, 817, 337, 347, 349, 373. 



Chacun de ces nombres donne lieu à un théorème semblable au 

 suivant, relatif au nombre 19 : 



Si l'on ajoute successivement au nombre 35 (19) 2 = 12635 les carrés 

 entiers 1, 4, 9, 16, 25, ... à l'infini, aucune des sommes obtenues n'est 

 égale à un cube. 



21. Les diviseurs de x 2 -f 35 donnent des théorèmes semblables 



