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que l'on déduit des formules (3) et (4) du mémoire cité, en prenant 

 c = 499, l = 62. C'est au moyen de ces formules qu'on doit 

 résoudre les diverses questions que l'on peut proposer relativement 

 à diverses conditions auxquelles on peut assujettir l'une des indé- 

 terminées. 



Proposons-nous de trouver tous les carrés qui deviennent des 

 cubes par l'addition du nombre 499. Il faut pour cela trouver 

 toutes les solutions de l'équation (1) dans lesquelles la seconde 

 indéterminée se réduit à l'unité. Pour cela on devra résoudre 

 successivement les deux équations 



g{ZP -499<? 2 ) = ± 1, g{ï>f- + 3 fa - 62 # 2 ) - ± 1. 



Dans les deux équations, g doit se réduire à l'unité. Dans la 

 première, on aura p = * • On doit prendre le signe infé- 



rieur, ce qui donne f* = 166. Comme cette valeur de f n'est pas 

 rationnelle, on doit la rejeter. 



Dans la seconde équation, le module 3 exige le signe supérieur; 

 on aura 



«7=1, 6f + 3/-=63, 2/ 2 + /-=21, 



Ainsi la condition y = 1 ne peut être remplie que dans les 

 formules (3), et cela d'une seule manière, savoir en faisant f — 3, 

 g = 1. Les valeurs correspondantes de x et de z sont x = 2158, 

 y = 167. Donc 



Théorème I. — Parmi les sommes obtenues en ajoutant succès- 

 sivement le nombre 499 aux carrés 1, 4, 9, 16, ... à l'infini, il n'y en 

 a qu'une qui soit égale à un cube, savoir 



(2158) 2 + 499 = (167) 3 



27. On obtient un grand nombre de théorèmes semblables à 

 celui que nous venons d'énoncer, au moyen des solutions du 

 problème suivant. 



