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assignées. Nous pouvons en dire autant de la réduite qui cor- 

 respond au 28 e quotient ; il suffit pour s'en convaincre d'effectuer 

 le calcul des réduites qui correspondent aux premiers quotients : 

 Quotients : 12, i, 8, 1, 2, 2, 6, 1. 

 Réduites : 



En égalant ^ à la huitième réduite on obtient pour a une 

 valeur supérieure à notre limite. Que serait-ce si l'on poussait \e 

 calcul jusqu'à la 28 e réduite ! Il ne reste ainsi que la réduite y 

 qui correspond au quotient x v On a £=13, a = l, 4/ = £ — a = 12, 

 f= 3; faisant /"= 3, y = \ dans les formules (3), on obtient la 

 solution trouvée plus haut 



(2158) 2 + 499 = (167) 3 . 



29. Par conséquent, les nombres (N) du n° 27 sont, parmi les 

 nombres premiers < 400, les seuls qui vérifient les conditions de 

 notre problème. 



Théorème EL — Si l'on désigne par a un nombre premier, < 400 

 et diff érent des nombres (N) 17, 53, 59, 67, 73, 89, 103, 199, 211, 269, 

 307, il est impossible d'obtenir un cube en ajoutant au nombre 499 a 2 

 un carré premier avec a. 



Théorème III. — Si l'on désigne par a l'un des nombres (N), il 

 existe un carré, mais un seul parmi les carrés premiers avec a, qui 

 devient un cube par l'addition du nombre 499 a 2 . 



Nous avons dû exclure dans ces théorèmes les carrés multiples 

 de a, parce que si l'équation 

 (5) x l + 499 = az* 



pouvait se vérifier en prenant x = m, z = n, le carré {amf devien- 

 drait égal au cube (anf par l'addition du nombre 499-/ Ainsi 

 pour déterminer les cas où les deux derniers théorèmes peuvent 

 s'étendre à tous les carrés, sans restriction, il est 

 trouver les nombres premiers qui rendent possible 

 et ceux qui la rendent impossible. 



