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tous les nombres premiers, diviseurs de x 2 -f 499, qui ne sont 

 représentés par aucune des formes (1,0,499), (4,1,125}. Or, la 

 forme (1,0,499) ne représente aucun nombre premier, moindre 

 que 400. Les nombres premiers représentés par la forme (4, 1, 125) 

 et <400 sont 127, 131, 137, 167, 181, 197, 281,307,397. Pour ceux 

 des résidus de 499 qui ne figurent pas parmi ces nombres et qui 

 sont inférieurs à la limite 200, savoir 



(R) 5, 29, 31, 43, 47, 101, 107, 109, 139, 151, 



l'équation (5) est impossible. Pour chacun des nombres (NR) et (R), 

 en le désignant par a, on peut énoncer ce théorème : 



Théorème IV. - Si Von désigne par a l'un des nombres renfermés 

 dans les deux groupes (NR) et (R), il est impossible de trouver un 

 carré qui devienne un cube par l'addition du nombre 499 a\ 



En prenant les valeurs particulières a — 3, 5, 7, 11, on obtient 

 les théorèmes suivants : 



Théorème V. — Ajoutez successivement tous les carrés au 

 nombre 4491 ; aucune des sommes obtenues ne sera égale à un cube. 



Théohème VI. — Il est impossible de former un eu!» en ajoutant 

 un carré à l'un des nombres 12475, 24451, 60379. 



Le seul des nombres premiers, < 400, représentés par la forme 

 (4, 1, 125), qui soit compris parmi les nombres (N) est 307. Parmi 

 les carrés premiers avec 307, le seul qui devienne un cube par 

 l'addition de 499 (307) 2 est le carré de 11464. 



Mais pour affirmer qu'il n'existe pas d'autre carré qui devienne 

 un cube par l'addition de 499 (307)-'. il faudrait don. outrer l'impos- 

 sibilité de résoudre en nombres entiers l'équation 



X 2 + 499 = (307) 

 et pour cela il faut chercher l'expression générale des solutions de 

 l'équation 



(6) x 1 + 499 y 3 = az* 



en prenant a =307; puis examiner si l'expression de g peut se 



réduire à l'unité dans quelqu'un des systèmes obtenus. 



