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31. On doit faire une remarque semblable pour les nombres 

 127, 131, 137, 167, 181, 197, 281, 397 

 qui sont représentés par la forme (4, 1, 125) sans figurer parmi les 

 nombres (N). Si l'on désigne par a l'un de ces nombres, on peut 

 affirmer qu'aucun carré premier avec a ne devient un cube par 

 l'addition de 499 a 2 . Afin d'affirmer qu'il en est de même pour les 

 carrés multiples de a, il faut démontrer que dans l'expression 

 générale des solutions de l'équation (6), l'expression de y ne peut 

 pas se réduire à l'unité. 

 Nous sommes ainsi amenés à résoudre le problème suivant. 

 Le nombre premier a = km 2 — %mn -j- 125m 2 étant donné, 

 trouver l'expression générale des solutions de l'équation (6). Or, 

 pour que le produit az 3 soit représenté par la forme principale, il 

 faut que;? 3 soit représenté par la forme (4, 1, 125) opposée à celle 

 qui représente le nombre premier a. On a donc à chercher la solu- 

 tion générale de l'équation 



4 X 2 + 2 XY -|- 125 Y 2 = Z 8 . 

 Cette solution sera exprimée par trois systèmes de formules qui 

 correspondent aux trois couples de classes opposées 



(5, ± 1, 100), (20, ± 1, 25), (20, ± 9, 29) 

 dont la triplication a pour résultantes les deux classes (4, ± 1, 125). 



Gomme deux formes opposées représentent les mêmes nombres, 

 nous ne prendrons que les signes supérieurs. Pour la composition 

 des classes nous emploierons les formules Q du n° 8. 



Duplication de la forme (5, 1, 100). 

 On a dans ce cas : 



a = a' = 5, b = b' = 1, c = 100, p - 1, 

 4 = q" = 5, q m = 2. 

 A = 25, B — 1 — 5 p", 0 = p" — p', 

 2 v " _ 5 f = ioo. 



Nous prendrons p" = p' = 0, p'" = — 20. La résultante sera 

 (25, 1, 20) (X, Y) 2 , et l'on aura X = x ! - 20^, Y = \0xy + %tf- 

 Donc, on réduit à une identité la formule 



(a) 25X* -f 2 XY + 20Y 2 = (5ar + 2xy -f ÎOO^) 2 



