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La forme (100, — 49, 29) se change en (29, — 9, 20) par la substi- 

 tution F=-Q, G=P— 2Q;on aura P = G— 2 F, Q=-F 

 et l'on conclura que les deux formes 



P = _ 4*« + 5y 2 , Q = — 2# 2 — 10 + 2 y 2 

 réduisent à une identité la formule 



29 P 2 - 18 PQ + 20Q 2 = (20^ + Zxy + 25y*) 8 

 On vérifiera donc identiquement la formule 



20 X 2 + 18 XY + 29 Y 2 = (20 x 2 + 2 «y + 25 y 2 f 

 en prenant 



X = — Q = 2z 2 4- Wxy — 2y», Y 5*/ 2 — 4a; 2 . 



Composant ensuite les deux formes 



(20, 9, 29) (X, Y) 2 , (20, 1 , 25) (x, y)\ 

 on arrive à cette conclusion : 



Théorème VIII. — Les deux formes cubiques 

 X _ 150 aty + 15 xif — 62 y 3 , Y = Sx 3 — 30 xy 2 - J/ 3 - 

 vérifient identiquement la formule 



(9) 4 X 2 + 2 XY + 125 Y 2 = (20 x 2 + 2 + 25 tff. 

 Pour la forme (20, 9, 29), on arrive, en procédant de la même 



manière, à cette conclusion : 



Théorème IX. — Les deux formes cubiques 



X = 150 afy -f 135 xtf — 32 if, 

 Y = — 8X 3 — 12ary + Mxy* + 13 y 2 , 

 satisfont identiquement à l'équation 



(10) 4X 2 + 2XY + 125 Y 2 - (20 + 18 «y -f 29 y 2 ) 3 . 

 Remarque. — Les théorèmes VII, VIII, IX donnent toutes les 



solutions de l'équation 



4X 2 H- 2XY + 125Y 2 - z 3 

 en nombres entiers et premiers entre eux. 



