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33. On déduit aussi de ce qui précède la résolution complète 

 de l'équation 



(11) f 2 + 499 tr = 4 s 3 



en nombres entiers, premiers entre eux. Dans toutes ces solutions 

 le nombre z est impair, car autrement les trois nombres t, u, z 

 auraient un diviseur commun, 2, contrairement à l'hypothèse. Or, 

 les représentations propres du nombre 4 par les formes quadra- 

 tiques du déterminant — 499 appartiennent exclusivement aux 

 deux classes opposées (4, ± 1, 125). Pour que le produit 4 z 3 soit 

 représenté proprement par la forme principale, il faut que z 3 soit 

 représenté par les deux formes (4, ± 1, 125). Par conséquent tous 

 les nombres z propres à vérifier l'équation (11) sont représentés 

 par les trois formes (5, 1, 100), (20, 1, 25), (20, 9, 19), et toutes les 

 solutions propres de cette équation se déduisent des formules (8), 

 (9) et (10) en multipliant ces solutions par 4, ce qui donne le 

 théorème suivant : 



Théorème X. — Toutes les solutions de l'équation 

 (11) f -f 499 m 2 = 4 s 8 



en nombres premiers entre eux sont exprimées par les trois si/stcme* 

 I 



t = x 3 + 300 tfy + 60*/ - 1992/, 

 u = x 3 — 60a-/ - 8// 3 , 

 z = 5x* + 2a?y + 100/. 



t = 8X 3 + 600 .r 2 y + 30*/ — 2W // 3 > 

 u = Sx 3 — 30 ay — y 3 , 

 z = 20-r 2 + î*y + 25/. 



III 



t = - Sx 3 -f 588a*y -f 564 .ry* — 115/, 

 u Œ _ g* 3 - 12*V + 24 *r + l3 **' 

 2 — 20** + 18-ry + »y*. 



