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34. Soit p = 4w 2 — 2 mn -f- 125 w 2 un nombre premier. Pro- 

 posons-nous de trouver l'expression générale des solutions de 

 l'équation 



(12) t 2 -\-mu 2 =pz* 



en nombres entiers et premiers entre eux. Pour que le produit^ 3 

 soit représenté par la forme principale, puisque p ne peut être 

 représenté que par la classe (4,-1, 125) et par la classe opposée, 

 il faut que z* soit représenté par ces mêmes classes. Or toutes les 

 solutions de l'équation 



4 X 2 + 2 XY + 125 Y 2 = z 3 



en nombres premiers entre eux, sont exprimées par les trois 

 groupes de formules des théorèmes VII, VIII et IX. En composant 

 cette forme (4, 1, 125) avec la forme opposée (4,-1, 125) (w, w) 2 , 

 on obtient pour résultante la forme principale t 2 -J- 499 m 3 , dans 

 laquelle t, u seront exprimés par les formules 



(13) t = (4 m — n)X + {m — 125*) Y, u = mY -f- >/X. 



En substituant dans ces formules les expressions de X, Y, z 

 auxquelles se rapportent les trois théorèmes cités, on obtient trois 

 systèmes de formules qui renferment toutes les solutions de 

 l'équation (12) en nombres premiers entre eux. Prenons par 

 exemple^ = 307, et conséquemment m = 7, n = 1. Nous obte- 

 nons le théorème suivant : 



Théorème XL — Toutes les solutions de l'équation 



(14) f + 499w 2 = 307 z 3 

 sont renfermées dans les trois systèmes suivants : 



118^ + 2025 o?y + 7890 œtf — 12448 y 3 , 

 7 s 3 + 75 - 390 xif - 552 ? / 3 , 

 5^ + %xy + lOOy 2 . 



