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Théorème I. — Si l'on convient de représenter par les symboles 

 Fj (z, k) et F 2 (z, k) les deux intégrales elliptiques normales (*) de 

 première et de deuxième espèces, savoir 



e/, conformément a la notation de Jacobi, £>ar TT (cp, /i, A) /a fonction 

 elliptique de troisième espèce, on aura la formule de quadrature 



[ «= 2»ytTT (q>„ * lf A- t ) — TTfq),, 



</a/<s laquelle g et g' désignant deux paramètres arbitraires sous la 

 condition g 2 + g' 2 = 1, /es six éléments q> v h v k\; qp 2 , /> 2 , k t sont 

 définis séparément par les égalités suivantes : 



= *»(A„*,)~Vî^ S „ (< p,,*,)-^Z=|. 



On remarquera la présence dans cette formule des paramètres 

 g et g', lesquels, remplissant dans la seconde intégration en k un 

 rôle analogue à celui de k et de k' dans la première intégration 

 en x, semblent appelés à recevoir à cause de cela la dénomination 

 de modules complémentaires du second ordre. 



Voyons maintenant ce que deviendra ce résultat pour les 

 valeurs limites corrélatives g 1, g = 0 de ces paramètres, pour 

 lesquelles sn (h v &,) et sn {h v k t ) étant simultanément infinis 

 d'après les définitions qui précèdent, /i x et h 2 pourront être consi- 

 dérés alors comme égaux l'un à iK\ et l'autre à /K 2 . 



