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que les différences en question seront l'une et l'autre de la forme 

 j Z (<p) - Z (K + iK') = Z [<p — (K + iK!)} + A' 2 sn cp. \ • 



(55) 1 vi , cn 9 dn <P 

 f - Z[<p-(K + ÎK')] cncpT"' 



et par conséquent, en termes explicites, qu'elles auront respective- 

 ment pour expressions 



Nous avons déjà envisagé les divers éléments qui figurent dans 

 ces deux expressions et calculé leurs valeurs dans le § I ci-dessus. 

 En effet, quant aux seconds termes, composés de fonctions de 

 première espèce seulement, si nous les désignons respectivement 

 par 0 2 et 0„ les égalités (19) et (23) nous donneront, en changeant 

 dans la première expression le signe de deux facteurs, 



0, = 



./. ; mI„ 



et quant aux fonctions de deuxième espèce, leurs arguments sont 

 encore exactement les mêmes que les arguments correspondants 

 des fonctions de troisième espèce de l'expression (25), lesquelles 

 provenaient dans le calcul précité d'une transformation analogue. 



Donc en résumé, si nous convenons de désigner, ainsi que nous 

 avons fait alors, par cp 2 l'argument de la nouvelle fonction ellip- 



