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En présence de ces premiers résultats, l'idée vient naturellement 

 à l'esprit de chercher à reconnaître combien l'on pourra former, 

 à l'aide des mêmes procédés, en partant à chaque fois d'un 

 nouveau type d'intégrale double convenablement choisi, d'équa- 

 tions semblables distinctes, entre un nombre déterminé de ces 

 quantités I„, J n , parce que si, par hasard, les deux nombres étaient 

 les mêmes de part et d'autre, l'expression de chacune de ces 

 quantités serait alors évidemment de la même forme que chacun 

 des seconds membres des équations ci-dessus : c'est-à-dire qu'elle 

 se composerait d'un terme algébrique de la forme ix&(x*, Je 2 ) A, 

 & désignant un polynôme à deux variables, et d'une expression 

 linéaire par rapport aux trois fonctions elliptiques relatives aux 

 éléments <p v h v l.\ d'une part et q> 2 , h 2 , k 2 de l'autre; et que si, au 

 contraire, le nombre des équations était constamment inférieur au 

 nombre des inconnues d'un même nombre fixe, soit 2 par exemple, 

 les dites quantités se ramèneraient toutes, dans ce cas, aux mêmes 

 éléments que tout à l'heure, et en outre aux deux premières 

 d'entre elles I 0 et J 0 , qui seraient alors des éléments irréductibles, 

 à la façon des trois intégrales elliptiques de Legendre dans le 

 calcul des quadratures de différentielles algébriques de la forme 

 f (x, \/X), X étant un polynôme du 3 e ou du 4 e degré. 



Or, malgré la présomption contraire, c'est la première de ces 

 deux conjectures que l'événement réalise (*), et le fait se produit 

 pour la première fois quant aux huit inconnues I 0 , J 0 , I 3 i h- 

 Nous ne pouvons, évidemment, à cause de la longueur de sem- 

 blables calculs, former ici effectivement ces huit équations, ni 

 même les reproduire toutes explicitement; nous nous bornerons 

 donc à rapporter seulement les trois suivantes, qui suffisent pour 

 indiquer les éléments analytiques qui figureront dans l'expression 

 des huit inconnues I n , J„ précitées, lesquelles équations seront 



(*) En l'état actuel de la question, en effet, et jusqu'à complète et rigoureuse 

 étude du problème, cette conjecture n'offre qu'une probabilité très faible, et si 

 eUe se trouve réalisée par le fait, comme le m.mlivra la suite de ce travail, ce 



de *«, savoir 2***+i (jr«— P)~ s for™ + F) _ï , qui accompagne en qualité de 

 facteur les intégrales elliptiques F t ou F 2 dans l'élément des quadratures 



