68 



- 330 — 



tions (138) des quantités I M , J M ; et quant à la seconde, des 

 définitions (28) des arguments cp t et cp 2 , ainsi que nous l'avons 

 expliqué déjà à propos du Théorème I (p. 280). 



Si donc on introduit en même temps la double supposition que 

 nous venons de dire dans l'égalité précédente (147), elle se réduira 



0 - qi (x) + m (*), ou ip (x) = _ m (k) = const., 



(car c'est la seule façon dont cette condition puisse être vérifiée) et, 

 par conséquent l'égalité (147) elle-même se réduira à I = J, 

 à laquelle égalité équivaut ainsi complètement la condition (146) 

 proposée par le problème. 



Cela étant, si l'on suppose cette dernière remplie, c'est-à-dire si 

 l'on suppose tous les divers coefficients de la seconde expression J 

 déterminés en fonction de ceux de la première I, comme nous 

 allons l'expliquer, de manière à satisfaire à la dite condition (146), 

 il est clair que pour avoir successivement l'expression de chacune 

 des quantités I n , J n considérées, il suffira de supposer à chaque 

 fois les coefficients a, p, H nuls sauf un seul, qu'on supposera 

 égal à l'unité, et d'introduire dès lors cette hypothèse dans les 

 valeurs obtenues pour les divers coefficients de J. 



Abordons donc à présent le problème proposé qui équivaut 

 ainsi, comme on le voit, à la connaissance synthétique des expres- 

 sions cherchées. 



Pour rendre plus claire l'exposition de cette démonstration, 

 laquelle repose en grande partie sur la considération des degrés 

 des différents polynômes qui y interviendront, nous aurons soin, 

 en règle générale, d'affecter toujours les symboles de chacun de 

 ces polynômes (à deux ou une variable) d'un indice qui en mar- 

 quera le degré en x- et A; 2 , ainsi que nous l'avons déjà fait pour 

 ceux qui figuraient dans l'énoncé du Problème. 



Cette observation faite une fois pour toutes, si l'on tient compte 

 des interprétations (8), qui permettent d'écrire la définition (138) 

 des quantités I n , J n sous la forme 



1 - ÇfC dx\ V\ 2k dk Cf Ça*dx\ l<*».'ïkdk 



